Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

… parecía realmente pertenecer a la geometría,
pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades
ni admitía solución mediante el cálculo de ellas,
no dudé en referirlo a la geometría de la posición.
Leonhard P. Euler

La palabra topo la asociamos generalmente con un animal subterráneo y con poca visión. Sin embargo, esta palabra proviene del latín talpa, siendo de hecho Talpidae la familia de los topos. Por otro lado, el prefijo topo, en las palabras topografía, toponímico y topológico, proviene de la raíz griega τόπος, que significa lugar. De esta forma, toponimia es el estudio de los nombres propios de los lugares y topografía se refiere a las características propias de un terreno. Por ello apuntamos que la Topología es una disciplina matemática que se encarga del estudio de aquellas propiedades de los sistemas que permanecen invariantes bajo transformaciones continuas, características que pasan a constituir la denominada estructura topológica de este espacio abstracto. Por otro lado, así como en las estructuras algebraicas se utilizan ciertos conceptos clave, usualmente expresados por medio de operaciones binarias, en los espacios topológicos (aquellos dotados de alguna estructura topológica) interesarán conceptos espaciales que resulten invariantes bajo continuidad, tales como los de proximidad, número de agujeros, tipo de textura, compacidad, conectividad y metrizabilidad, entre otros.

Conviene aclarar que la expresión «una topología», con minúscula inicial, refiere a una de las estructuras de tipo topológico que estudia la Topología, de igual forma que «un álgebra» es un tipo especial de estructura algebraica, que son el objeto de estudio del Álgebra, otra de las ramas de la Matemática. Aunque el topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, lo hace de un modo ciertamente distinto: no se fija ni en las distancias ni en los ángulos, ni siquiera de la alineación de los puntos. Por ejemplo, para el topólogo un círculo es equivalente a una elipse, al igual que una esfera no se distingue de un cubo, desde el momento que puede ir de uno a otro mediante una transformación continua y totalmente reversible, esto es, mediante un homeomorfismo. Así, en la Topología, los cuerpos son tratados como si estuvieran hechos de una goma infinitamente elástica, que no implique ni quiebres ni «discontinuidades». Mire el lector en este enlace. cómo una taza y una dona (un toro) son topológicamente equivalentes, es decir, homeomórficos.

Estos conceptos de invariancia topológica, de preservación de cierta estructura espacial, tuvieron su historia, pero simplificando de sobremanera cabe mencionar los siguientes aspectos como cruciales:

a) La teoría de grafos: con dos ejemplos clásicos: el problema de los siete puentes de Könisberg y el teorema de los cuatro colores, los cuales involucran en su resolución el desarrollo de complicados teoremas matemáticos (ambos problemas ilustrados en la primera parte del artículo).
b) La teoría de nudos: con sorprendentes aplicaciones, entre otras, en la Biología Molecular y la Física. (Las nuevas formulaciones de la teoría de supercuerdas recurren a las variedades de Calabi-Yau, mencionadas en un artículo previo sobre espacios multidimensionales).
c) La teoría de superficies: en un sentido mucho más general que el geométrico estándar, en donde se clasifica la diversidad de tipos de superficies compactas.

La Topología es un campo reciente, pero vasto, cuyo desarrollo y evolución se encuentra íntimamente ligado al desarrollo abstracto de las matemáticas contemporáneas, por lo que aún una rápida revisión histórica resulta apasionante. Sin embargo, esta síntesis de los pasos fundamentales requeriría, siendo lacónicos, un par de publicaciones más. Aunque esto no es factible ahora, sí cabe señalar una distinción que desde el inicio quedó bastante asentada, y es la diferencia de enfoque para tratar los problemas que el original Analysis situs, desde G. Leibniz hasta H. Poincaré, vino a plantear. En efecto, el primero de estos autores, en 1679, publica su obra Characteristica Geometrica, en la cual pretende estudiar las propiedades topológicas, más que las puramente métricas, de las figuras, insistiendo que «se necesita de otro análisis, puramente geométrico o lineal, que también defina el situs (posición) como el álgebra define la magnitud».

Este enfoque moderno de la distribución de los puntos en el espacio con ciertas características que se conservan bajo cierto tipo de mapeos es justamente el rescatado por Euler de las ideas iniciales de Leibniz, el cual queda explícitamente manifiesto en su resolución del problema de Könisberg. Esta novedosa forma de tratamiento llevará a Euler al planteamiento de su famosa, pero muy simple fórmula: V – A + C = 2, la cual relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro cualquiera. La fórmula es compartida a su amigo Christian Goldbach en una carta de 1750. Poco después, el matemático suizo Simon Antoine Jean L’Huilier generalizará la fórmula así: V – A + C = 2 – 2g, en donde g es el número de «asas» o agujeros que posea el poliedro.

Lo interesante de esta cantidad que citamos es que se trata del primer invariante topológico de la historia. Este enfoque basado en la búsqueda de invariantes topológicos fue continuado profusamente por matemáticos teóricos de la talla del polímata y genial Henri Poincaré, quien introduce el concepto de homología y da una definición precisa de los denominados números de Betti, asociados a la topología de un espacio. Poincaré también introducirá el concepto de grupo fundamental de una variedad y la noción de homotopía, básicos en la denominada Topología Algebraica.

A pesar de lo complejo que pueda parecer el objeto de estudio de estas ramas matemáticas, los problemas provienen por lo usual de la formalización rigurosa de otros mucho más simples, a los que no podemos dar una explicación satisfactoria. Como ejemplo, tómese el problema de los cuatro colores, el cual establece que «dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, este puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color». Dicho de otra manera, nunca se requerirá de más de cuatro colores distintos para que el mapa no confunda las diferentes regiones. Este teorema ha sido probado ya, después de más de 120 años de luchas por su demostración, usando ordenadores electrónicos, lo que ha dado lugar a una serie de polémicas al respecto. Valdrá retomar esta problemática en exclusiva ocasión.

Un segundo camino en el cual se desarrolla la Topología es por medio de la generalización de las ideas de convergencia, las cuales fueron originadas desde los tiempos antiguos, con la crisis de los inconmensurables de los pitagóricos y con el método de exhaución de Arquímedes. El proceso de construcción del concepto de límite también tiene su historia, abstrayendo la idea desde la noción de convergencia de una sucesión y dando por resultado una definición mucho más allá de los espacios métricos de Maurice Fréchet, llegando finalmente a Felix Hausdorff, quien presentó la primera definición de un espacio topológico abstracto en general. Con esta estructura será posible definir rigurosamente lo que significa la continuidad de una función, de donde podrá establecerse el concepto de homeomorfismo y de equivalencia topológica, fundamentales en la denominada Topología General o conjuntista. En la imagen última se muestra cómo la proyección estereográfica establece un homeomorfismo entre dos espacios topológicos equivalentes: la esfera de Riemann y el plano complejo extendido, que incluye el punto del infinito.

Imágenes tomadas de diversos medios, editadas por Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

Quadrivium

Correo: viniciobarrientosc@gmail.com