Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

… parecía realmente pertenecer a la geometría,
pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades
ni admitía solución mediante el cálculo de ellas,
no dudé en referirlo a la geometría de la posición.
Leonhard P. Euler

Iniciamos en la primera parte señalando que la Matemática se concibe en la voz popular como la disciplina de «los números», lo cual viene a ser una fotografía, no solo parcial, sino bastante sesgada de lo que es el quehacer matemático. En particular, apuntamos que la construcción del edificio matemático ha sido una tarea histórica y acumulativa, pero no siempre lineal, proceso en el que han ido apareciendo nuevas áreas y subdisciplinas, mencionando a este respecto la clasificación que utiliza la Unesco. Así, por ejemplo, en esta codificación, el primer dígito 1 refiere a las ciencias formales, siendo 11 la Lógica y 12 la Matemática. Asimismo, dentro de cada una de estas primeras áreas científicas existen subdivisiones que utilizan los siguientes dos dígitos, completando así la clasificación de cuatro dígitos, que al ser completada con otra subdivisión más específica llega a la clasificación de seis dígitos. La conformación de la Matemática, código 12, aparece así:

1201 Álgebra
1202 Análisis y Análisis Funcional
1203 Ciencias de la Computación
1204 Geometría
1205 Teoría de números
1206 Análisis Numérico
1207 Investigación Operativa
1208 Probabilidad
1209 Estadística
1210 Topología
1299 Otras especialidades matemáticas

Por otro lado, enfatizamos sobre el gran despliegue y monumental crecimiento de la producción matemática del último siglo, la cual representa más del 95 % del total de resultados existentes al día de hoy. Queda claro que la educación y la difusión de estos nuevos conocimientos se ha quedado demasiado atrás, para ir al paso de lo que el gran público debería saber al respecto de a qué se refiere todo este cúmulo de saberes formales, tan importantísimos para el desarrollo de la ciencia en general.

También comentamos que fue en la Geometría en donde se gestó la mayor claridad para dar el salto fundamental, que convertiría a la Matemática en un todo ordenado de sistemas y estructuras formales abstractas, totalmente independientes de la realidad concreta, es decir, independiente de los planos físicos sensibles en donde existimos. Aunque se encuentra una diversidad de enfoques para una posible división de la Matemática, todas las clasificaciones incluyen las muy conocidas áreas de la Aritmética (1205: teoría de números), la Geometría, el Álgebra, el Análisis (que incluye al Cálculo Integrodiferencial) y la teoría de la probabilidad, así como otras disciplinas afines, como son la Lógica, la teoría de la computación, la teoría de juegos y otras englobadas en las denominadas matemáticas aplicadas. La siguiente imagen muestra un esquema territorial, símil a nuestra comparación de la ciudadela del mundo matemático, mencionada anteriormente.

En la imagen previa, una subdisciplina nos parece totalmente desconocida: la tundra de la Topología, la que la Unesco identifica con el código 1210. Si tuviéramos que sobresimplificar, podríamos aseverar que los sistemas matemáticos, y así los objetos en ellos, más allá de una fundamentación lógica, pueden poseer una naturaleza de tipo semántico que responde a una estructura numérica (aritmética o analítica), una estructura geométrica, una estructura algebraica o una estructura topológica, o, más exactamente, a una combinación de este tipo de estructuras. Al revisar nuestras nociones al respecto, caemos en la cuenta de que no poseemos una noción, aunque sea vaga, de lo que el calificativo «topológico» pueda significar, a diferencia de los otros tres, léase numérico, geométrico o inclusive eso de «lo algebraico».

Como indicamos, la palabra «topología» proviene de las raíces griegas τόπος, topos, que significa lugar, y la más conocida λόγος, logos, que traducimos como estudio, discurso o tratado. Así, la Topología vendría ser la disciplina matemática que estudia las propiedades espaciales o relacionales de los objetos matemáticos, y lo topológico se refiere a la estructura espacial más general. Si buscamos una definición, Wikipedia nos dirá que es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas, lo cual no nos dice mucho, si no contamos con un concepto bien definido de lo que significa esto de «la continuidad». Para acercarnos a este concepto, regresamos nuevamente a la historia, recordando el problema que Leonhard Euler resolvió en 1736.

Esto trae a colación el tema de que, en contraste con el Álgebra, la Geometría y la teoría de números, mejor conocida como Aritmética, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la Topología aparece mucho más recientemente. En la cita que hemos copiado de L. Euler, el matemático suizo explica que Gottfried Leibniz ha planteado anteriormente un tipo de análisis geométrico que no recurre a las cantidades y que tampoco depende de las distancias de los objetos en cuestión. Así, apenas en el siglo XVIII, el prolífico matemático rescata el título que Leibniz ha usado anteriormente, Analysis situs, es decir, análisis de la posición. Para la resolución del famoso problema de los siete puentes de Königsberg, Euler utiliza unas novedosas técnicas, las cuales pasarán con los años a dar origen a la moderna teoría de grafos.

El problema corresponde al caso real de la ciudad de Königsberg, en la antigua Prusia Oriental, ciudad que pasó después a ser parte de Alemania, y luego, desde 1945, se convertiría en la actual ciudad rusa de Kaliningrado. Resulta que la ciudad es atravesada por el río Pregel (Pregolia en ruso), el cual se bifurca para rodear con sus brazos a la isla Kneiphof,​ dividiendo el terreno en cuatro regiones distintas (en verde en la imagen precedente), las que entonces estaban unidas mediante siete puentes, según puede observarse en el diagrama. El problema consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pie toda la ciudad, pasando solo una vez por cada uno de los puentes, y regresando al mismo punto de inicio.

La solicitud planteada en el problema resulta imposible, es decir, no existe ninguna posible ruta que satisfaga las características planteadas. Sin embargo, aunque el problema puede resolverse aplicando un «método de fuerza bruta», es decir, probando todos los posibles recorridos existentes, es notable que Euler desarrolló un método general con el cual demuestra una solución generalizada del problema, método que puede aplicarse a cualquier territorio en el que ciertos accesos estén restringidos a ciertas conexiones. Esto lo redacta brillantemente en Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.

Los problemas topológicos se ocuparán de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, de modo que no aparezcan nuevos puntos o se hagan coincidir puntos diferentes. Esta matemática de la deformación extrema, como puede apreciarse al transformar «topológicamente» una taza en una dona (ver imagen siguiente), está basada en la noción de una transformación continua, la cual presupone y establece que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la transformada, y que la deformación producida por la transformación hace corresponder «puntos próximos» a otros «puntos próximos», que pasará a ser la noción intuitiva de esta característica de la continuidad. De hecho, cuando una transformación y su transformación inversa son ambas continuas estaremos hablando de un homeomorfismo, que no es más que la forma de preservar la estructura topológica de un determinado conjunto. Iremos dando oportuno cierre en la parte tercera.

Imágenes tomadas de diversos medios, editadas por Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

Quadrivium

Correo: viniciobarrientosc@gmail.com