Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

Dado que la textura del universo es la más perfecta obra de un creador sapientísimo,
nada en lo absoluto tiene lugar en él sin la obediencia de alguna regla de máximos o mínimos.
Leonhard P. Euler

Iniciamos este artículo indicando, en su primera parte, que en las redes sociales pude observar cómo profesionales, que se aventuraban a hablar de la evolución del brote epidémico del SARS-CoV-2, incurrían en un error al hablar del «pico de la infección», pues para ello mostraban el seguimiento de la gráfica basada en los nuevos casos diarios. Al margen de si los datos proporcionados por el Gobierno son verosímiles o bien capturados, o si las variables en cuestión están bien definidas, en algún marco teórico, el error en el que se incurre tiene que ver con confundir una determinada función (F) con su correspondiente función derivada (F’), que cuantifica la razón de cambio de los valores de la función original. Es decir, en términos más específicos, para la situación de la pandemia que nos atañe, una cosa es el número de casos registrados (sean los que están activos o bien los casos acumulados en el tiempo), y otra, muy diferente, es hablar del número de casos nuevos que se van detectando en el día a día.

De esta forma, cuando el presidente Giammattei expresó tal situación, en la reciente comunicación en cadena televisiva nacional, no pude sino sentirme en la motivación de explicar la situación, aprovechando el abordaje matemático en esta columna Quadrivium. El mandatario expresó que la epidemia había llegado a su pico en la primera semana del mes de julio, como una justificación de que las cosas iban mejorando, y de que el brote iba ya en descenso. La población, un tanto incrédula, increpó que si tal cosa fuera cierta, por qué razón se observaba una creciente cantidad de municipios movilizándose hacia el rojo, cosa que no sucedía hace unas pocas semanas. A pesar de la incongruencia, la primera autoridad del Ejecutivo mostró una gráfica con los registros de los casos diarios, ilustrando cómo a partir de mediados de julio, el número de casos diarios iba en decidido decremento.

Como hemos dicho, el (garrafal) error, tanto de los que asesoran al presidente, como de los profesionales que he citado, amigos de las redes y del bullicio, es confundir dos variables, que merecen interpretación independiente, a saber: la función de estudio F, con su función derivada, simbolizada por F’. Para ilustrar la distinción dimos inicio a un ejemplo, quizá más intuitivo. Después de todo, el estudio de las variaciones de una variable se inició con el estudio del movimiento de los cuerpos. Por ello citamos a Isaac Newton, quien de forma simultánea con G. Leibniz, fueron los creadores e impulsores de las nuevas herramientas analíticas proporcionadas con el naciente Cálculo Infinitesimal, el cálculo de las infinitamente pequeñas variaciones, Esa materia, que suele provocar algunos dolores de cabeza a los estudiantes universitarios, es, con mucho, una doncella muy mal comprendida y quizá injustamente mal ponderada. Cabe recordar que las nociones del Análisis Matemático provienen desde la antigüedad, con Arquímedes y Eudoxo de Cnido con sus famosos métodos de exhausción.

Repasemos el ejemplo de ilustración. La función F será la distancia recorrida por un móvil (imagíneselo en línea recta) y la función F’, su función derivada, será la velocidad de este móvil. Entonces el lector distinguirá las dos medidas. La función original F es la distancia, dada en metros, por ejemplo, mientras que la función derivada F’ será la velocidad, dada en metros por segundo. Si se grafican ambas funciones, serán gráficos distintos, relacionados, vinculados, pero distintos. En particular, el pico (máximo) de una no corresponderá al pico (máximo) de la otra. Más específicamente, supusimos que el auto ha partido del reposo, dese muy lejos, empezando a «acelerar», es decir, a incrementar su velocidad, hasta llegar a una velocidad máxima, cuando justamente alcanza a observar a una persona que se encuentra muy lejos la autopista. Por ello, el conductor inicia el descenso de la velocidad, hasta que finalmente se detiene. Véase la gráfica siguiente y evalúese si se comprende lo que expresa: la variación de la velocidad del automóvil.

Entonces cabe preguntar: ¿cuál es el problema? Parece una cosa muy sencilla. Un auto parte desde velocidad cero, llega a su máximo, y finalmente se detiene. Pues bien, el problema es confundir esta dinámica de la velocidad con la dinámica de la distancia recorrida. ¿Es acaso el momento en el que el móvil tiene su velocidad máxima el mismo momento en el que se ha recorrido la distancia máxima? En definitiva que no, porque, como se ha escrito en la imagen previa, aunque el auto vaya disminuyendo su rapidez, eso no implica que la distancia esté disminuyendo. Simplemente la distancia sigue aumentando, más lentamente, si se quiere, pero siempre sigue aumentando.

Ahora trasladémonos a los análisis de los expertos modeladores de las redes sociales. Ellos analizan y le dan seguimiento a la gráfica de los nuevos casos diarios, que es la gráfica de F’, y al encontrar un máximo en F’ pasan a afirmar es el valor máximo de F… ¡craso error! Al decir: «hemos llegado al pico de F», se están equivocando. Obsérvese que la velocidad máxima se obtuvo antes de que el auto se detuviera, que es justo cuando la distancia alcanza su valor máximo. El error fundamental es pensar que nos interesa el máximo de nuevos casos diarios, cuando el pico de la infección se da cuando el número de infectados activos llega a un valor máximo. No es lo mismo. Daremos más detalles en próxima oportunidad, pero por ahora comprendamos esta diferencia.

En el caso de un móvil que se comporta según se ha descrito, o en general, para cualquier variable descrita por una función F para la cual la función derivada F’ muestre una gráfica similar a la precedente, tendremos que, mediante un proceso matemático de «suma infinitesimal» (conocido matemáticamente como integración), podremos obtener la F original partiendo de la correcta medición de F’. En la imagen siguiente se muestran varios ejemplares.

Como puede leerse, si tenemos F (la distancia recorrida o el total de casos acumulados) podemos obtener F’ (la velocidad o los casos diarios) por diferenciación, esto es, restando de un momento a otro, lo que significa medir el cambio. De similar forma, si tenemos F’ podremos retornar a F mediante integración, que una sumación secuencial de las partes.

Finalmente, regresando a las palabras que el mandatario expresó, podremos caer en la cuenta que no está hablando de la cantidad de infectados, lo cual es el mismo error que cometen los analistas, porque, repetimos, el pico de la infección se obtendrá cuando se alcance un máximo local en la variable de contagiados activos. Además de aclarar que para tal máximo falta tiempo, será requerido que revisemos sobre por qué se habla de un máximo, pero fundamentalmente, por qué el comportamiento de la pandemia en nuestro país no se apegará a las conductas descritas hace más de un año, cuando describimos el modelo epidemiológico SIR. Mientras llega este momento, confirmemos: el pico de este primer brote epidémico no ha sido en julio.

Imagen principal tomada de AGN, editada por Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

Quadrivium

Correo: viniciobarrientosc@gmail.com