Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

Rey magnánimo –declaró el más sabio de los geómetras–: calculamos el número de granos de trigo solicitados por Sissa, y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación
Malba Tahan, O Homem que Calculava

En anterior oportunidad hemos presentado la diferencia existente entre una sucesión o progresión aritmética y otra de tipo geométrico, poniendo en evidencia el acelerado crecimiento que tiene la segunda respecto de la primera. Fundamentalmente, mientras una secuencia aritmética crece mediante adición, una secuencia geométrica crece mediante multiplicación. Aunque esta distinción es cualitativamente sencilla de comprender, en términos cuantitativos siempre resulta sorprendente.

Es el caso de la leyenda de Lahur Sissa, quien en premio de su loable invención del juego de ajedrez, pidió una recompensa consistente en un lote de trigo, que contuviera el monto de granos equivalente a un proceso sencillo que, descrito en términos actuales, implica una progresión geométrica. Para ilustrar la sorpresa ante tan magnánimo crecimiento, haremos un símil de la historia de Sissa, con alguna leve variación, para revisar nuestra intuición al respecto del crecimiento exponencial que describe muchos fenómenos de nuestro ambiente social y natural.

Supóngase que la madre naturaleza hubiera dispuesto autogenerarse mediante un maravilloso proceso de duplicación en el tiempo, empezando por una partícula elemental, un protón por ejemplo, que en el momento cero constituiría la totalidad del universo. Asumamos que, sin nadie comprender mucho el cómo ni el porqué, esta partícula se duplicara de forma instantánea un poco antes de finalizar el primer día, de manera que ya iniciado el segundo se tuviera en el universo dos partículas. Continuando con este increíble proceso de creación y multiplicación de cuanto existe, tendríamos que al final del segundo día, e inicio del tercero, el universo estaría constituido por cuatro partículas. Y así indefinidamente en el tiempo, día tras día, semana tras semana, mes tras mes, año tras año, duplicándose el número de partículas ad infinitum, si es que el infinito puede tener sentido en nuestro universo, que los físicos y cosmólogos actuales aseveran que es finito y acotado.

La pregunta que uno podría hacerse, ante este crecimiento exponencial, es cuánto tendría que transcurrir para que el planeta Tierra estuviera completamente conformado, con toda la materia que hay en él. De igual forma, preguntarse por el tiempo en que la madre naturaleza tardaría en formar el Sistema Solar, o nuestra galaxia, la Vía Láctea. Por un lado, este fenómeno de la duplicación no es algo tan fantástico como podríamos suponer, dado que varios fenómenos de tipo social o natural, tales como el crecimiento bacteriano, lo presentan. En efecto, la reproducción de bacterias está basada en fisión celular binaria, la cual suele sucederse ante las condiciones propicias para esta maravillosa duplicación, con la diferencia que el lapso en el que una bacteria se duplica, y con ello la población bacteriana completa, puede ser tan solo de algunos minutos.

Pues bien, la sorpresa ante el hipotético planteamiento es que una duplicación diaria sostenida generaría toda la materia del universo completo en un tiempo equivalente a la duración del embarazo humano, es decir que bastarían tan solo 40 semanas para que toda partícula del universo estuviera generada antes de este tiempo, menor a un año. En términos formales, estaríamos tratando de una cantidad escrita con 280 bits, es decir, de un tamaño equivalente a 2²⁸⁰ ≈ 10⁸⁵ partículas, un número que es posible escribir en cualquier calculador científico de bolsillo. Nótese que, a diferencia del caso del tablero de ajedrez, acá no se suman las partículas del primer día con las del segundo, con las del tercero, lo cual en un crecimiento exponencial no es ciertamente crucial, pues en todo caso, discreto o continuo, la adición o integración de una función exponencial es a su vez una dependencia de tipo exponencial, como se ve en el caso de la suma en el tablero de ajedrez.

La razón por la cual la función exponencial, sea de crecimiento o decrecimiento, es tan importante en la modelación matemática es debido a una propiedad formal que la función cumple, causal de su aparecimiento, y que aparece en variados fenómenos, como el estudio de poblaciones, el decaimiento radioactivo y distintos fenómenos financieros. Una gran cantidad de hechos de la naturaleza, o de la sociedad humana, son explicados a través de las relaciones que existen entre las variables y sus tasas de cambio.

Un primer modelo, intuitivamente bastante claro, es aquel que tiene una tasa de variación constante, es decir, que varía uniformemente. Estos fenómenos responden a la proporcionalidad que vemos en las figuras geométricas, a través del concepto de la escala, y que modelan una secuencia aritmética. La función que modela un fenómeno de tasa constante es la función lineal, cuya gráfica es una línea recta. Es justamente el modelo del interés simple, que aplica un porcentaje fijo sobre el capital inicial.

Sin embargo, también estamos relacionados con el modelo del interés compuesto, el cual aplica una tasa fija pero sobre la cantidad acumulada, es decir, sobre el monto actual y no sobre el capital inicial invertido, lo que significa que la tasa de crecimiento real es proporcional a la cantidad existente, que es la misma relación que se presenta en el crecimiento de una cierta población, pues mientras más población, más será el número de nuevos elementos. En la Matemática más avanzada, aparecen diversas estructuras del tipo exponencial, pues resuelven ecuaciones en donde las tasas de cambio son proporcionales al valor actual de la variable. Esto puede observarse en sistemas dinámicos complejos, dando lugar a soluciones análogas al caso de un crecimiento exponencial numérico.

Posiblemente se piense que estos modelos son complicados, siendo la verdad lo totalmente opuesto. Por ejemplo, la derivación y la integración de funciones, objetos o sistemas de tipo exponencial son preferidas, por sencillas. En términos generales, dos curvas tipo son relevantes en el modelaje de una serie de fenómenos; las lineales, relacionadas con la sucesión aritmética, y las exponenciales, correspondientes a la sucesión geométrica. Por ello, es importante distinguir entre fenómenos aditivos, computados por diferencias, y otros muy similares, de tipo multiplicativo, en donde las razones o cocientes son las herramientas adecuadas. Existe una correspondencia (homomorfismo) entre la adición en los números reales de una escala aritmética con la multiplicación en una escala geométrica de los números reales positivos.

El crecimiento poblacional y el particular de los cálculos que deben realizarse en finanzas son una clara muestra de la significancia de la comprensión de posibles aplicaciones del modelo exponencial, y de ciertas nociones relacionadas, como la conversión entre una escala aritmética y una geométrica a través de la función logarítmica. El modelaje de relaciones y sistemas es un campo multidisciplinario que no es exclusivo de especialistas en Matemática, sino que por el contrarios atañe a profesionales de varias áreas de estudio, sobre todo en lo que respecta al planteamiento de las condiciones que se requieren para delimitar los alcances y las fronteras del modelo. Como se ha planteado, un modelo exponencial no puede ser sostenido en el tiempo, a menos que existan condicionantes que lo acoten, detalle que podremos abordar en un posterior acercamiento con el modelo de regresión logística y las funciones sigmoideas de modelación.

Todas las imágenes que acompañan este texto son de Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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