Vinicio Barrientos Carles | Quadrivium / QUADRIVIUM

Es imposible encontrar en toda la Geometría cuestiones más difíciles y más importantes explicadas con términos más sencillos ni más comprensibles que los teoremas de la inteligencia sobrehumana de Arquímedes.
Plutarco

Llama la atención que, de manera paulatina y vertiginosa, el sistema educativo escolar tradicional, en crisis, pierde el legado de la comprensión de los hechos matemáticos más elementales. Muchos se preguntan, ¿cuál es la fórmula para esto o para aquello? Como si se tratara de artilugios misteriosos, casi mágicos. Quizá lo más grave en este asunto de la algoritmia reductiva es que generalmente no se tienen claros los conceptos involucrados y menos aún el objetivo perseguido, sobre cuál es el problema que se pretende. El caso del cálculo de áreas o de volúmenes de ciertas figuras o cuerpos es icónico, y sirve perfectamente para ilustrar este distanciamiento de lo que actualmente es la formación escolar en Matemática, con lo que originalmente y de manera genuina se pretendía realizar en el Quadrivium de la antigüedad.

Partamos del ejemplo más simple y sencillo. Muchos preguntan o responden, casi mecánicamente, al respecto de cómo calcular el área de un triángulo rectilíneo plano (porque, anótese en este momento, que también los pudieran haber no planos o no rectilíneos, como los que se trazan sobre la superficie de la tierra, abarcando ciertas distancias con las cuales ya no es posible considerar que el planeta es plano, como usualmente consideramos en distancia pequeñas). En esta línea arquetípica se recita, como parafraseando algún tipo de ablución u oración sagrada: «base por altura partido dos». Y es que en múltiples oportunidades me he atrevido a preguntar sobre el porqué de tal malabarismo, al que se denomina «matemático», en la casi total seguridad de que no existirá justificación más allá de «esa es la fórmula del área de un triángulo», como quien dicta un dogma o un punto de partida que debe ser aceptado sin discusión, y mucho menos algún cuestionamiento o determinada reflexión. La imagen que sigue muestra el concepto de área, de manera muy elemental, pero ilustrativa, y del cómo siempre todo triángulo podrá ser visualizado como la mitad de un rectángulo, y por ende su área será cabalmente la mitad del área del rectángulo asociado, el cual es cuadrable por pura definición.

Se habla de una cuadratura de una figura plana cuando es posible establecer una relación racional (es decir, del cociente de dos enteros) entre el área de la figura y un rectángulo equivalente asociado, lo cual se podría lograr con una cuadrícula suficientemente adecuada para lograr este propósito. Cuando se trata de polígonos rectilíneos o figuras acotadas por segmentos de recta, pareciera que lo previo, relativo al triángulo, y la triangulación, o subdivisión exhaustiva en triángulos pertinentes, no solo es factible sino que también no tan difícil de realizar. Sin embargo, al pensar en una figura no acotada por rectas, un círculo por ejemplo, el asunto pareciera elevarse a niveles muy distintos de complejidad. De hecho, uno de los famosos problemas que ocuparon a los antiguos geómetras y que llegaron hasta nuestros días es el denominado de la cuadratura del círculo, el cual fue negativamente respondido (es decir, demostrada su imposibilidad) hasta el siglo XIX, cuando se pudo probar la trascendencia del número π (lo que significa que π no es un número algebraico y mucho menos racional). Regresando a lo que sí es posible, la imagen que sigue muestra varias cuadraturas del trapecio, cada una interpretando de manera diferente la fórmula usualmente empleada para el cálculo del área de esta figura. Dejamos como inquietud para el lector, darle la correcta interpretación a cada uno de los trazos, líneas y movimientos de áreas de los componentes de la cada figura.

La cita del inicio, del historiador y biógrafo griego Plutarco, hace referencia a la magnanimidad de la obra de uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica, Arquímedes de Siracusa, quien entre tantos descubrimientos e invenciones desarrolló aportes significativos a la física, la ingeniería y la astronomía de aquel entonces, siendo revolucionario en varios sentidos. Con el correr de los siglos, la posteridad reconoció en Arquímedes uno de los matemáticos más fecundos de todos los tiempos, siendo hasta el Renacimiento y la Modernidad que tiene lugar la recuperación, reconstrucción y divulgación del legado del pensador griego, generando en los notables científicos de esta época el cuestionamiento profundo sobre sus logros ¿Cómo pudo Arquímedes desarrollar sus impresionantes resultados sobre cuadraturas y cubaturas, que luego demostraba rigurosamente mediante el método de exhaución? Sería hasta el advenimiento del Cálculo Infinitesimal que se le comprendería parcialmente, siendo por ello considerado precursor del Cálculo Integral, dada sus técnicas de sumación de los infinitamente pequeños.

En particular, uno de sus logros es precisamente la cuadratura de la parábola, la cual aparece en un tratado con el mismo nombre, redactado en forma de carta a su amigo Dositeo. El ensayo presenta una secuencia de veinticuatro proposiciones sobre las parábolas, anidadas y concatenadas en forma lógica, culminando con la demostración de que el área de un segmento parabólico es cabalmente 4/3 de la del triángulo inscrito, es decir 2/3 del correspondiente rectángulo que circunscribe al segmento parabólico. Este hecho, que una línea parabólica divide a un rectángulo en dos partes en relación de uno a dos, o bien de un tercio a dos tercios, será altamente significativo en sus técnicas de sumación, como podremos ver en un artículo posterior. Si la línea que divide al rectángulo, de vértice a vértice opuesto fuera una recta, la fracción de 1/3 se convierte a 1/2, como sucede con el área del triángulo inscrito correspondiente.

El enunciado del problema utiliza el método exhaustivo. De forma muy sintética, Arquímedes va diseccionando el área en triángulos cada vez más pequeños de tal manera que sus áreas van formando una progresión geométrica, con razón 1/4. Procede a calcular esta suma infinita obteniendo la fracción 1/3 (o equivalentemente 4/3 si se incluye como primer término la unidad). De esta manera demostró que el área del segmento parabólico tenía esta proporción respecto al rectángulo correspondiente.

Para finalizar, amerita puntualizar que la cuadratura de la parábola representó históricamente el uso más sofisticado del método exhaustivo, o de agotamiento, en las matemáticas antiguas, y que no fue superada sino hasta el desarrollo del cálculo integral, en el siglo XVII, y con generalizaciones tales como la fórmula de cuadratura de Cavalieri, o el mismo principio epónimo por él formulado, así como otras técnicas modernas del análisis numérico, introducidas por Carl F. Gauss, otro de los más grandes en el universo insondable de la Matemática.

Imágenes elaboradas por Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

Quadrivium

Correo: viniciobarrientosc@gmail.com