Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

En 1798 Thomas R. Malthus publicó la primera edición de su obra An Essay on the Principle of Population. Allí puede leerse lo siguiente: «Cuando no lo impide ningún obstáculo, la población se va doblando cada cierto número de años, creciendo de período en período, en una progresión geométrica. Los medios de subsistencia, en las circunstancias más favorables, no se aumentan sino en una progresión aritmética».

Dos conceptos se contraponen en la cita previa: progresión aritmética versus progresión geométrica. La diferencia entre estos dos modelos de crecimiento radica en que en uno se desarrolla aplicando un sumando constante a cada miembro de la progresión, mientras que el otro crecerá aplicando un factor fijo a cada término, como el caso que plantea Malthus, cuando una duplicación cada cierto período se lleva a cabo. La cita del famoso demógrafo refiere a un crecimiento aritmético para los alimentos y recursos mientras que se tiene un crecimiento geométrico para la población.

La secuencia natural 1, 2, 3,… es por ende una sucesión aritmética, pues cada término de la sucesión se encuentra sumando uno al término precedente. Otra sucesión aritmética (creciente) podría ser: 8, 11, 14, 17, 20, etcétera, en cuyo caso la diferencia constante es 3. Por otro lado, una secuencia geométrica de razón 2 sería: 3, 6, 12, 24, 48, etcétera. Puede observarse que la razón constante es el factor que se aplica de manera fija, y como se verifica en el ejemplo de la secuencia dada, cada término es el doble del valor del término que le antecede. La idea principal es que el crecimiento de una secuencia multiplicativa o geométrica es con mucho superior a un crecimiento de tipo aritmético.

En la afamada predicción, denominada catástrofe malthusiana, está implícito el hecho matemático que sin importar de cuáles secuencias se trate, dadas dos progresiones crecientes, una aritmética y otra geométrica, siempre será la segunda la que en algún momento supere a la primera. En lenguaje moderno, una exponencial siempre superará a cualquier recta en el plano, a partir de algún valor del tiempo en el eje de las abscisas.

El término geométrico no proviene ni debe relacionarse con el concepto de geometría como estudio de figuras y cuerpos, sino con otro concepto vinculado: el de multiplicación. Lo que sucede es que en el estudio de la proporcionalidad que se da en los triángulos, se utiliza repetidamente el concepto de razón, como cociente, y de esta forma aparecen factores fijos o constantes. En el caso de una secuencia, sucesión o progresión geométrica, en la que cada término se obtiene multiplicando por un factor constante, el uso del concepto geométrico resulta apropiado, por antonomasia y por la relación con las proporcionalidades prescritas.

Derivado de este concepto del tipo de sucesión y de crecimiento, existen numerosas aplicaciones, y una de ellos es la construcción de escalas. Una escala aritmética es aquella que presenta una sucesión aritmética, es la escala que utilizamos frecuentemente y de manera estándar. Sin embargo, cuando se está ante fenómenos que abarcan una gran variación, las escalas aritméticas suelen no ser tan útiles.

Por ejemplo, nuestra vista permite ubicar objetos a varios metros de distancia, quizá cientos, pero no así en distancias mucho mayores, para las cuales deberemos utilizar un catalejo o un telescopio. De igual manera, el sentido de la vista no puede auxiliarnos con magnitudes demasiado pequeñas. En general, nuestros sentidos y nuestras referencias sensibles son de tipo aritmético o lineal.

De esta guisa, en el mundo sensible, es decir, en el correspondiente a las percepciones desde los sentidos físicos, sea cual sea la naturaleza de una determinada especie, el uso de una escala aritmética es lo pertinente, en función de la movilidad y la mecánica que todos los seres vivos manifiestan. Sin embargo, para objetivos abstractos, analíticos, hemos hablado del micro, meso y macro mundo, lo que implica una diversidad mucho mayor en el tamaño de las cantidades que se registran. En este caso, la identificación del orden de magnitud viene dado por un exponente, y no es posible abarcar todos estos niveles en una única escala de tipo aritmético o usual.

Por lo anterior, una aplicación de las escalas de tipo geométrico es requerida, justamente cuando se necesita un alcance dado dentro de un gran recorrido de variación. Por ello los científicos han inventado prefijos para las unidades de medición, y estos prefijos de sistema internacional están en sí mismos en una progresión geométrica, de razón mil.

En las imágenes que acompañan este texto, se incluyó una escala aritmética típica, varias escalas geométricas, una cuadrática y otra armónica. Como curiosidad, también se colocó un ejemplo de los llamados medios aritméticos, geométricos u otros, por estar posicionados al centro de los valores en cuestión, de forma equidistante, en las escalas correspondientes.

Es importante observar que el número de cifras que utiliza un número estará relacionado con el orden de magnitud de este número, es decir, con el exponente de la potencia más grande involucrada. En una secuencia geométrica, cada término sucesivo tendrá una cifra más cuando se escribe en el sistema de numeración correspondiente.

Por ejemplo, en el sistema decimal, un número entero de tres cifras estará acotado superiormente por 10³, mientras que un número de 17 cifras lo estará por 10¹⁷. De manera similar, en el sistema binario o de base 2, un número de cinco cifras, o cinco bits, estará acotado superiormente por 2⁵ = 32, mientras otro número con 10 bits será inferior a 2¹⁰ = 1024, pero mayor a 2⁹ = 512 del sistema decimal.

Aquí aparece el concepto de logaritmo, que no es nada más que el exponente de un determinado número en una determinada base, y tendrá valor un poco debajo de la cantidad de cifras que el número posee, en el sistema de numeración dado. Así, el logaritmo de 1 000, en la base 10, es 3, puesto que 10³ = 1 000. En base dos, o cualquier otra, es lo mismo. El logaritmo de 32 en la base 2 es igual a 5, pues 2⁵ = 32.

De similar manera, un número de tres cifras (728 digamos) tendrá un logaritmo de base diez de dos punto algo (log 728 = 2.9, aproximadamente), pues tendrá que ser un poco inferior a tres. En forma análoga, un número escrito con siete bits (1011011_[2] digamos) tendrá un logaritmo de base dos de seis punto algo ( log₂ (1011011_[2]) = log(91) / log2 ≈ 6.5 ), para que sea un poco menor a siete.

Ahora, como ejercicio, puedes buscar en tu calculador las dos funciones exponencial (10^x) y logaritmo (log) y verificar que si colocas un número cualquiera, puedes sacar su logaritmo exacto, para después, a esta respuesta, aplicarle el exponencial de base diez (10^x), función a la cual antiguamente se le llamaba antilogaritmo. Estas dos funciones te permiten ir de una escala aritmética a otra geométrica, y viceversa. En general, en una base b (entero positivo), las funciones exponencial de base b y logaritmo de base b te posibilitan ir de una escala a la otra, y de alguna forma esta escala base b está relacionada con el sistema de numeración de la base b.

Cerramos con la célebre leyenda de Sisa, que habla sobre la invención del juego de ajedrez. El rey, complacido con el obsequio de tan novedoso e inteligente juego, quiso premiar a su creador y, ofreciéndole un gran palacio, el eximio y humilde inventor rechazó amablemente tan magnánima oferta. El rey, insistente y persuasivo, le pidió, casi en calidad de ruego, que le propusiera una recompensa. El inventor cedió, pidiéndole que le concediera arroz para su comarca, pidiéndole un grano por la primera casilla del tablero, dos para la segunda, cuatro para la tercera, y así sucesivamente duplicando la cantidad de arroz para cada una de las siguientes casillas. Después de que el rey ordenara que se le cumpliera tan peculiar pedido, los calculistas y guardas de los almacenes del reino tuvieron que informarle que ningún reino de este mundo podría cumplir tal solicitud. En efecto, la última casilla constaría de 2⁶³ granitos de arroz, y el total estaría cercano a 2⁶⁴ ≈ 10¹⁹ granos que equivale a 20 000 años de la producción actual de arroz en todo el mundo.

Este ejemplo en la leyenda ilustra muy bien la falta de percepción que muchas veces tenemos respecto del llamado crecimiento exponencial, el que relaciona lo aritmético con lo geométrico, pues mientras las casillas avanzan aritméticamente de 1 en 1, los granos de arroz siguen una progresión geométrica de razón dos, misma que en algún momento desaparecerá de cualquier escala aritmética, por grande que la podamos proponer. En una próxima oportunidad estaremos compartiendo al respecto de la importancia de los modelos exponenciales y logarítmicos.

Todas las imágenes de este texto son de Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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