Vinicio Barrientos Carles | Quadrivium / QUADRIVIUM

Noli turbare circulos meos.
Arquímedes

Sobre la vida de Arquímedes se han escrito numerosas anécdotas y existen diversas leyendas, de las que no se sabe cuánto en ellas podría ser verdad y cuánto son producto de la ficción a lo largo del tiempo. El caso es que los historiadores más serios han documentado la fama y posición que Arquímedes de Siracusa gozó en vida, haciendo ver que su reputación de científico y notable inventor no provenía de su linaje o de alguna influencia política específica, sino que era el resultado de las variadas acciones que tuvieron un impacto favorable en los pueblos, en particular en su ciudad natal donde vivió con un estatus de ciudadano magnífico. Entre estos relatos se encuentra uno que habla de una serie de inventos que posibilitaron la defensa de Siracusa por más de una década, impidiendo que los romanos pudieran ocuparla. Según la tradición, el inventor griego creó un sistema de espejos ustorios que reflejaban la luz solar, concentrando la radiación térmica consecuente sobre los barcos enemigos, con la finalidad de incendiarlos en el momento oportuno. Otro habla de la forma en que murió, y aunque existen varias versiones del hecho, se sabe que aconteció cuando la ciudad fue tomada por los ejércitos romanos, comandados por el general Marcelo. Una de las versiones relata que cuando un soldado pretendía arrestar a Arquímedes, mientras este se encontraba absorto contemplando un diagrama matemático, el geómetra hizo caso omiso de la orden de conducción, limitándose a solicitar un poco de tiempo para resolver antes el problema en el que estaba trabajando. En esta versión, el soldado, enfurecido ante la respuesta, mató a Arquímedes con su espada, quien profirió como sus últimas palabras las citadas (en latín) en la frase inicial («No perturbes a mis círculos»). Lo que sí se encuentra mejor documentado es que el general Marcelo se mostró furioso ante la muerte de Arquímedes, debido a que lo consideraba un valioso activo científico, ante lo cual había ordenado previamente que no resultara herido.

Existe un logro que, al parecer, le provocó mucho orgullo y satisfacción al geómetra griego, y es el descubrimiento de la relación existente entre el volumen de la esfera, el cono y el cilindro, probando, en particular, que tanto el volumen como el área de la esfera son exactamente dos terceras partes del área y el volumen del cilindro que la circunscribe, respectivamente. Tanto es así que, al parecer, Arquímedes pidió que en su tumba se colocarán una escultura y unos grabados que hicieran alusión a este hecho matemático. En el año 75 a. C., el orador romano Cicerón pudo visitar la tumba del erudito, constatando que sobre ella se había colocado una esfera inscrita dentro de un cilindro, conteniendo además unos diagramas con diversos resultados. En esta oportunidad estaremos tratando uno de los resultados previos para el establecimiento del volumen de una esfera, que es cabalmente el cálculo del volumen de un cono, circular recto, vinculado de manera especial y específica con otro cuerpo redondo muy conocido: el cilindro.

Como al lector seguramente le aconteció, en su momento tuvo que memorizar algunas fórmulas que le permitían el cálculo del volumen y del área de los tres cuerpos redondos presentados, en vista que el concepto de estudio que se manejaba, y que se sigue manejando, en el sistema educativo tradicional, es el de la memorización y la posible aplicación de todo cuanto el maestro pide que se aprenda. Los pobres resultados de tales conceptos y visiones de lo que podría significar educación son visibles para todos, puesto que de todos estos esfuerzos nada o casi nada permanece, como todos podemos constatar, y las escasas excepciones de las personas que aún recuerdan estas fórmulas, que en su momento fueron percibidos como extraños artilugios, no poseen una sencilla relación o explicación que justifique tales resultados (falencia que es posible observar aún en profesionales con especialidades en temas u orientaciones de índole cuantitativa).

A decir verdad, la simplificación a la que lleva la comprensión de los hechos matemáticos más fundamentales es la llave crucial para su estudio, su recuerdo y perfecta utilización en aspectos de la vida cotidiana. Así, de forma particular, existen varias ideas clave con las que es posible facilitar el aprendizaje de la medida del tamaño de los distintos cuerpos y figuras geométricas. El primero es que la medida de la magnitud de un determinado cuerpo viene dado por el producto de sus dimensiones, o una fracción de este consabido producto. Un rectángulo es el producto de su base por su altura, de similar forma que un triángulo es la mitad de este producto. Un segmento bajo un arco de parábola es dos tercios del rectángulo que lo circunscribe, como hemos podido ver en el artículo precedente sobre la cuadratura de la parábola. Como en estos ejemplos se trata de un área, medida en unidades cuadradas (o sea cantidad de cuadraditos), el resultado vendrá dado por la multiplicación de dos medidas lineales. En tres dimensiones, el tamaño de una caja (un paralelepípedo), por ejemplo, también será el producto de su base por su altura, pero como ahora se trata de un volumen (o sea cantidad de cubitos), la base acá será un área, en unidades cuadradas, que, multiplicada por la altura, en unidades lineales, dará como resultado una cantidad en unidades cúbicas, expresando el volumen. Así, en el cilindro, o en cualquier tipo de prisma (en tres dimensiones), la fórmula será siempre la misma, a saber: la base (en dos dimensiones) por la altura (de dimensión lineal). Esto será cierto en cualquier número de dimensiones, como podremos ver en artículos posteriores.

Conociendo el resultado fundamental de que el tamaño de un cuerpo es básicamente el producto de la magnitud de su base por la medida de su altura, puede uno reparar en relaciones interesantes entre ciertos cuerpos que se encuentran naturalmente vinculados entre sí, ahorrándose con esto muchas aparentes complicaciones en la metodología del aprendizaje ciego de sendos formularios que no nos dicen nada y que devienen en una colección de expresiones totalmente sin sentido. Por ejemplo, ya citamos que una recta puede dividir a un rectángulo en dos triángulos congruentes (del mismo tamaño), a diferencia de un arco parabólico (curva de grado dos) que lo divide en dos segmentos parabólicos de tamaño un tercio y dos tercios del tamaño del rectángulo en cuestión. De similar forma, una curva cúbica (de grado tres) dividirá a un rectángulo en dos segmentos cúbicos (de grado tres) de tamaño un cuarto y tres cuartos, y así sucesivamente. En la gráfica que sigue se muestran los tres cuerpos redondos tridimensionales, con el hecho fundamental que ahora nos atañe, que es la relación entre el tamaño del cono con el del respectivo cilindro que lo circunscribe. Si el área de un triángulo es la mitad de la del rectángulo, el volumen del cono viene a ser la tercera parte del cilindro. En este sentido, una fabulosa maestra que tuve la oportunidad de tener en mi formación primaria me hizo la observación sobre el divisor-denominador dos para dos dimensiones, y el divisor-denominador tres para tres dimensiones, como una forma comprensiva de introyectarlo y a la vez como una propiedad mnemotécnica. Recuerdo que para aquella ocasión mi recordada y apreciada maestra llevó un vasito de cono y un vaso cilíndrico de casi igual tamaño en su base, y llenando el cono de agua preguntó: ¡¿con cuántos vasitos de cono creen que se pueda llenar este cilindro de la misma altura?! Al verificarlo, la gran moraleja, que no eran dos, ¡sino tres!, los vasitos requeridos. Dejaba la estimulante sugerencia, sobre las mentes más inquietas, que si se tratara de un mundo con cuatro dimensiones, y tuviéramos el respectivo cuerpo similar al cono, el tamaño de este sería la cuarta parte del correspondiente cilindro. Si se investiga, podremos constatar que esta es efectivamente la situación, un poco más allá de nuestras percepciones sensibles, pero tal y como matemáticamente es factible demostrar.

En fin que la imagen precedente permite calcular el volumen del cono y de la esfera, siempre que apliquemos para el cilindro el principio de que su volumen viene dado por el producto de su base (un círculo: πr²) por la altura. Entonces, el cono tendrá un volumen de la tercera parte de este resultado y la esfera del doble que el respectivo cono, de manera que sumando el cono más la esfera tendremos un total equivalente al cilindro, y ese es el fundamento para el diagrama observado en la tumba del Arquímedes, mostrado en la imagen inicial. Se podrá observar que, en este caso en particular, dada la relación de inscripción y circunscripción, tanto el cilindro como el cono, ambos con bases circulares y rectos (puesto que sus ejes son perpendiculares a sus bases), tienen como peculiar altura una equivalente al diámetro de la esfera, para poder coincidir de forma tangencial.

Para establecer esta relación de la tercera parte, Arquímedes desarrolló con su método exhaustivo una suma infinita para determinar que la fracción apropiada para el volumen del cono es cabalmente 1/3. Este método es semejante a como se hace ahora en un curso moderno de Cálculo Integral, como cualquier joven estudiante podrá constatar. El punto crucial para la sumación, seleccionada con la interrogante en rojo en la imagen precedente, está íntimamente conectada con el área de un segmento parabólico, problema que el matemático griego había ya resuelto previamente, y que en esta columna Quadrivium hemos tratado en nuestro artículo anterior. Esto será expuesto en la parte segunda de este artículo, cuando podremos completar la secuencia de las ideas aquí planteadas.

Imagen principal tomada de Wikipedia, editada por Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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Correo: viniciobarrientosc@gmail.com