El modelo logístico y el crecimiento acotado (I)

Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

Cuando no lo impide ningún obstáculo, la población se va doblando cada cierto número de años, creciendo de período en período, en una progresión geométrica. Los medios de subsistencia, en las circunstancias más favorables, no se aumentan sino en una progresión aritmética.
Thomas R. Malthus

Thomas Robert Malthus dijo: «Si aceptamos mis postulados, afirmo que el poder de la población es infinitamente mayor que el poder de la Tierra para producir subsistencia para el hombre». La población, si no se controla, aumenta como una progresión geométrica. La subsistencia aumenta solo en progresión aritmética. Con ello, y las descripciones analíticas planteadas en su libro An essay on the principle of population, publicado originalmente en inglés en 1798, se expuso lo que pasó a denominarse la catástrofe malthusiana, consistente en las consecuencias derivadas de la afirmación que el crecimiento de la población humana, libre de contenciones, consistía en un crecimiento exponencial puro, de carácter geométrico, mientras que la producción de alimentos según su argumento, no podría superar nunca un crecimiento de tipo lineal o a lo sumo potencial. De esta guisa, puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos, a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría indefectiblemente una escasez de alimentos a gran escala lo que conllevaría a una gran hambruna, la cual calculó se sucedería a finales del siglo XIX, específicamente, para la década de 1880.

Fotografías tomadas El País y Foro Noches, editado Vinicio Barrientos Carles.

Por un lado, es un hecho que la gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo, mostrando que los presupuestos lógicos en el modelo matemático de Malthus eran simplistas y, en ocasiones, hasta erróneos. En efecto, Thomas Malthus era un demógrafo y economista político conservador, y es altamente probable que la catástrofe por él visionada se encontrara fuertemente influenciada por una visión pesimista del crecimiento poblacional, dejando de lado elementos clave en el modelo prescrito. A pesar de ello, las tesis de Malthus, aunque resultaron desajustadas a los hechos, tuvieron una gran influencia política y social.

Los ajustes no tardaron en llegar. Pierre-François Verhulst fue un matemático belga, que publicó en 1838 (40 años después de la publicación del ensayo de Malthus) una obra que, basada en las estadísticas disponibles de aquel entonces, complementaba la teoría del crecimiento exponencial, o de la progresión geométrica, colocando un factor correctivo en la ecuación diferencial que anteriormente se estaba planteando. Hoy en día se le reconoce principalmente a Verhulst como el descubridor de la función logística, o curva sigmoidea, es decir, en forma de la letra S. Su modelo matemático del crecimiento de la población incorpora, básicamente, un elemento que contiene y expresa los factores que frenan el crecimiento sin límite. Históricamente dedicó los siguientes años a desarrollar el nuevo modelo, publicando su trabajo final en 1845. Más recientemente, el modelo logístico y algunas variantes han nuevamente acaparado la atención de académicos, desde los años 1970, y la teoría ha vuelto a recibir gran atención como un ejemplo importante de la teoría del caos, el determinismo y la dinámica de los sistemas complejos, posteriormente como una metodología estadística para la inferencia sobre sistemas sociales basados en datos discretos, especialmente útil en la nueva ciencia de datos, a través de la denominada regresión logística.

Imagen tomada de Wikipedia, editada por Vinicio Barrientos Carles.

La idea fundamental del modelo logístico es colocar un factor que hace que la población se encuentre limitada por elementos o recursos determinados por el ambiente, que impiden que las poblaciones puedan seguir creciendo sin límite, colocando una cota superior para este crecimiento. Por ello se habla de un crecimiento acotado, es decir, limitado. En las ecuaciones previas puede observarse que la tasa de crecimiento r es común a ambos modelos, pero en el crecimiento sin límite esta tasa o razón de crecimiento afecta a la actual población P(t), mientras que en el modelo propuesto por Verhulst, el logístico, la tasa o razón afectará al producto de P(t) y a otro factor, constituido como [ K ─ P(t) ], lo que implica que cuando P(t) crezca, la tasa efectiva de crecimiento disminuirá, a tal punto que la población P(t) nunca podrá superar el valor K, al que efectivamente se le denominará capacidad de carga y representará un valor asintótico que el sistema (o el ambiente) impone a la dinámica poblacional.

Imagen por Vinicio Barrientos Carles con fotografías de Wikipedia.

En la continuidad de este artículo estaremos presentando algunos ejemplos de las distintas aplicaciones y las ilustraciones que se tiene de este crecimiento acotado, que, aunque aparentemente más complejo, es de lo más natural posible. En resumen, el modelo logístico de crecimiento tiene una interpretación muy especial en la naturaleza y en los sistemas sociales, tales como la dinámica de las poblaciones de las distintas especies y su interacción con otras, como en el caso de los depredadores y las presas bajo ciertos supuestos que permiten la simplificación y el modelaje matemático.

Mientras, deseo regresar a la frase citada al inicio de esta primera parte del artículo, cuando Malthus anota: «… cuando no lo impide ningún obstáculo, la población se va doblando cada cierto número de años», trasladándola tal cual al ámbito financiero, pensando en que aquel que ha acumulado la suficiente riqueza para que su subsistencia ya no dependa de los réditos de su capital, tendríamos, si no se lo impide ningún obstáculo, un crecimiento geométrico que superaría a todos cuantos le rodean en una competencia fundada en unos principios erróneos de inequidad, basados en un simple, pero irreversible parámetro, el capital P(0) con el que por una u otra razón cuenta al inicio de la corrida del modelo. Esto si, y solo si, los supuestos del modelo de crecimiento no se modifican con unos elementos que impidan que el crecimiento responda a un modelo sin límite. Veremos cómo las cotas y los límites son requeridos y necesarios.


Imagen principal por Vinicio Barrientos Carles con fotografías de Wikipedia.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

Quadrivium

3 Commentarios

Carlos Moscato 19/04/2021

Muy interesante su exposición. En estos tiempos que vivimos, podríamos inferir la influencia del Covid 19 como factor limitante de la población y poder estimar algún tipo de incremento acotado. Como investigador en el tema lo felicito y agradezco su publicación que enriquece al lector. Saludos.

Guillermo Sosa 11/04/2019

Felicitaciones. Loable trabajo. Es para integrarlo al estudio de normas y políticas que guíen el curso de nuestra nación.

    Vinicio Barrientos Carles 12/04/2019

    Muchas gracias Guillermo, por tu lectura, seguimiento y participación en los comentarios. La Demografía en una ciencia aplicada muy interesante, y lo que he podido plasmar en este artículo, en tres partes, es tan solo un humilde acercamiento para el lego, con miras a desarrollar un interés crítico y explorador. Claro que es correcto, y muy pertinente, lo que mencionas de la aplicación (técnica profesional) de todos estos saberes en un contexto como el nuestro, que ha olvidado que el Estado se debe ver fortalecido con cuadros y perfiles idóneos para cada una de las áreas científicas requeridas por la sociedad y las instituciones, totalmente al margen de la dimensión política (o politiquera) que usualmente nos agobia. Reitero mi agradecimiento por tu comentario. Saludos

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