Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

Quien busque el infinito, que cierre los ojos.
Milan Kundera

Esta es la tercera parte de un artículo que se estiró un poco más allá de lo usual. Sin embargo, conviene recordar que por mucho que se prolongara el escrito, asumiendo que nunca se parara de anotar, agregando letras y palabras sin tregua y sin descanso, siempre que el universo físico conocido siguiera existiendo, la longitud de ese hipotético escrito, medida por el número de letras utilizadas, sería siempre expresada por un número finito y limitado, bastante grande probablemente, pero nunca comparable con un número infinito, sin importar el ritmo con el cual las diferentes letras fueran colocadas en una inmensa tira de papel. Y es que podrán existir números grandes, y otros muy, muy grandes, pero siempre en cualquier caso imposibles de equiparar con el infinito.

De lo anterior el lector podría cuestionar, preguntándose ¿pero entonces qué podría ser infinito? En breve podemos decir que el infinito es simplemente una entidad formal, la idea de algo que no tiene fin. De hecho se trata de un producto mental de tipo matemático, y sin entrar en honduras y profundidades sobre lo que podría significar exactamente acá el calificativo de matemático, lo fundamental será establecer la distinción abismal entre lo que es finito y lo que no lo es. Aun suprimiendo la entelequias filosóficas y el abordaje metafísico de lo infinito, cabe anotar que en la Matemática existen varias versiones de posible respuesta a la pregunta sobre qué es el infinito, distinguiéndose inclusive entre infinitos de diferente tamaño, es decir, unos infinitos pequeños y otros que resultan infinitamente mayores que los infinitos pequeños, y en esto no estamos recurriendo a ningún juego de palabras.

En los artículos precedentes hemos insistido en la finitud del universo físico, y en el hecho crucial que nada sensible o concreto podría ser infinito. Sucede que cuando una cantidad resulta muy grande o colosal, se pierde en nuestra limitada imaginación, cayendo en la maliciosa tentación de pensar que se trata de una cantidad infinita, como en el caso de las arenas del mar, citado en nuestra primera parte, o en las estrellas del universo, mencionadas en la segunda. En el primer caso, señalamos que el número de granitos de arena con el que se rellenaría el universo en el modelo de Aristarco de Samos (de apenas 2 años luz de diámetro, aproximadamente) sería inferior a 10⁶³ (10 elevado a la potencia 63).

Por otro lado, con la cantidad de estrellas en el firmamento, tenemos que en una noche muy clara y muy despejada se podrán observar a los sumo un número inferior a tres mil, es decir, del orden de magnitud de 10³. En el diagrama anterior se muestra una tipología o clasificación del tamaño de los números. Allí se ha identificado como números perceptibles los naturales de una o dos cifras, en el sentido de que son aquellas cantidades a las que tenemos acceso discriminante con el uso exclusivo de nuestros sentidos físicos. A su vez, se ha denominado números estándar a aquellos que provienen de conteos y de mediciones en nuestro mundo usual, y que por lo tanto no son ni tan grandes ni tan pequeños (en el sentido de una escala geométrica), por lo que es frecuente utilizar el denominado orden de magnitud, que es el exponente de la cantidad escrita en la llamada notación científica (es decir, con un exponencial de base diez, o de otra base de numeración, si se utiliza un sistema de numeración diferente al decimal).

Cuán grande puede ser un número estándar, ¿cuántas serán las estrellas de todo el universo físico (observable)? Bueno, se trata de 3 x 10¹¹ galaxias con un promedio de 4 x 10¹¹ estrellas cada una, por lo que resulta un número total de estrellas en todo el universo de (apenas) 10²³ aproximadamente. Si nos vamos al número de protones tendremos a lo sumo 10⁸³ partículas, y ya habíamos comentado que Carl Sagan calculó que si todo el universo conocido estuviera repleto de neutrones, uno pegado al otro (cosa imposible por cierto), obtendríamos un número total inferior a 10¹²⁸. Es decir que, en conclusión, nuestro viejo amigo el googol (equivalente a 10¹⁰⁰) es un número suficientemente grande para expresar cualquier cantidad física concreta, o cualquier posible resultado de una medición sobre objetos en el mundo sensible, y por ello el googol es considerado un buen punto limítrofe para el inicio de los números grandes, esos que ya no representan cantidades estándar del mundo real.

Obsérvese, por otro lado, que para cualquier número grande existirá otro similarmente pequeño, que le corresponde bajo la función inverso, o 1/x. Por ejemplo, al número 100 = 10² le corresponde 1/100 = 10^-2 = 0.01; para 100 000 = 10⁵ tendremos su contrapartida 1/100 000 = 10^-5 = 0.00001; para un googol = 10¹⁰⁰ , que es un 1 seguido de cien ceros, o sea un número ya grande, tendremos el correspondiente inverso multiplicativo, igual a 1/googol = 10^-100 , que se escribiría en sistema decimal de numeración como 0.000…001, en donde se han escrito exactamente cien ceros en este último numeral. Obsérvese que para los números infinitamente pequeños sí existe un límite de lo infinitamente pequeño, que es 0, por lo que suele pensarse que el inverso del infinito (grande) es cero y viceversa. Consecuencia de esta propiedad es el hecho de que pensar en cantidades muy grandes, o inclusive infinitos, se corresponderá a concebir cantidades muy pequeñas, o infinitesimales, respectivamente. Este abordaje se tiene al desarrollar varias teorías de ampliación de los más conocidos números reales, como lo son los números hiperreales, superreales y sureales, todos provenientes y derivados del análisis no estándar, (desarrollado por Abraham Robinson en la década de los años setenta), teoría que permitió justificar rigurosamente el uso de números infinitos y de infinitesimales en el desarrollo temprano del Cálculo Infinitesimal del siglo XVII.

Aunque el uso de los exponenciales de base diez, las famosas potencias de diez, es frecuente y suficiente para los que acá hemos denominado números de tamaño estándar, resulta una notación insuficiente para los números grandes, más allá del googol. En efecto, traducir una torre de exponenciales tan sencilla como el googolplex resulta imposible en la notación exponencial. Este hecho nos proporciona un criterio. Si un número no puede ser representado fácilmente por medio de una potencia de diez, pero sí por una torre de exponenciales, podremos considerarlo un número grande, como el caso del googolplex o el googolduplex, así como todos sus parientes y vecinos.

En este momento podríamos pensar que las torres de exponenciales bastarían para anotar los números más grandes que alguna persona pudiera llegar a concebir, sin embargo, quizá no hemos reflexionado al respecto del meollo del crecimiento, el cual se basa en procesos iterativos y de recurrencia, unos que se llaman a otros previamente calculados. Por ejemplo, las sucesiones aritméticas y geométricas utilizan la adición y la multiplicación respectivamente; por otro lado, las torres de exponenciales provienen de la iteración de la exponenciación. En general, tenemos el concepto de hiperoperación que podremos presentar posteriormente. Así, los números que ya no pueden ser representados por medio de extensas cadenas o torres de exponenciales son a los que hemos identificado como números muy grandes, los cuales no son muy sencillos de identificar. Uno de los ejemplos más utilizados para el caso de los números muy grandes es el denominado número de Graham, vinculado de alguna forma con la función de Ackermann, muy citada en la teoría de la computabilidad de las funciones recursivas.

La comprensión de un número como este y otros similares requerirá un poco más de tiempo y de esfuerzo, pero la motivación ha sido el presentar un esbozo de la existencia de unas cantidades que escapan a nuestra imaginación, y que de hecho son mucho más grandes de aquello que pueda resultar de alguna utilidad en nuestra existencia en el mundo físico sensible en el que nos desenvolvemos, teniendo siempre claro que por inmensos e inconcebibles que sean estos números, no son ni en atisbo comparables con aquello que nuestra humanidad ha querido visualizar con el infinito, aquel que es únicamente alcanzable en potencia y con el uso de nuestras facultades mentales más abstractas.

Imágenes tomadas de Xatakaciencia y Unifeed.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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