Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

Quien busque el infinito, que cierre los ojos.
Milan Kundera

En la publicación precedente se abrió el tema de los números grandes, y desde un inicio se planteó la distinción fundamental que existe entre una cantidad exageradamente grande, quizá muy difícil de imaginar, y una cantidad infinita. El infinito es una creación abstracta de tipo matemático, basada en la recursividad, la cual da origen a procesos que se pueden autollamar indefinidamente, generando la noción del infinito como una pura entelequia para el sinfín. Esta separación entre la finitud y el infinito fue recalcada en el vídeo de Carl Sagan, el gran divulgador de la ciencia, a la vez que presenta uno de los más famosos números grandes, el googol (gúgol), y otro que se deriva del mismo, el googolplex (gúgolplex).

En la construcción del googol y el googolplex, es posible descubrir la esencia del mecanismo para la construcción de los números grandes, a saber, la iteración o repetición de una misma operación o proceso. Así, los números naturales se construyen y se calculan mediante un proceso repetitivo, sumar uno al anterior. Podría sumarse otra cantidad y tendríamos el concepto de una escala aritmética, en donde se grafica una sucesión o progresión aritmética. El proceso repetitivo puede ser otro, por ejemplo el de la multiplicación, en cuyo caso tendríamos una escala geométrica, misma que se corresponde cabalmente con una progresión geométrica, la cual, a su vez, está basada en la multiplicación iterada, que genera la exponenciación. La utilidad de las escalas geométricas es grande, porque casi cualquier número o cantidad obtenida por conteo o por medición de alguna magnitud en el mundo sensible puede ser explicado y se encuentra contenida en una escala geométrica seleccionada convenientemente.

Podrá observarse que detrás de esta iteración subyace el concepto de recursividad, es decir, el llamado a un proceso fijo que se repite sobre el resultado previo obtenido de ese proceso. En la definición del googol esto es claro, pues se repite el número cero cierto número de veces (cien, para ser específico), después del uno inicial (en nuestro sistema decimal de numeración, claro), siendo por lo tanto el resultado de diez elevado a la centésima potencia. Lo admirable aparece al definir el googolplex, pues para escribirlo en sistema decimal se necesitará anotar un uno seguido de un total de un googol de ceros. El proceso puede continuar, pues un googolduplex se define como un uno seguido de un googolplex de ceros, así como un googoltriplex tendrá un número de ceros igual a un googolduplex, y así sucesivamente hasta donde el lector desee continuar.

Usar potencias de diez para números grandes es frecuente, y si se tratara de números mucho mayores, siempre podremos recurrir a las torres de exponenciales, ejemplificadas muy bien con nuestros amigos el googol y sus descendientes. Nótese de esta notación-expresión de torres, que aún mucho más potente que los conocidos exponenciales, en su versión particular de las potencias de diez, empleadas en la denominada notación científica.

Así, se podrá observar que un googol puede ser representado como una torre de dos dieces, mientras que el inimaginable googolplex será expresado como una torre de tres dieces. Vale anotar que para escribir un googolplex, al ritmo de varios dígitos por segundo (no importa realmente cuántos dígitos por segundo puedas escribir), se necesitaría una cantidad de años superior a 10 elevado a la 92, cuando la edad de nuestro joven universo es de apenas del orden de 10 elevado a la 10 años. Nótese la gran diferencia de un número de diez cifras con otro que tiene noventa y dos cifras.

Un googol es un número suficientemente grande para representar la mayoría de los números que podrían interesarnos, estando todos estos números dentro del alcance proporcionado en una calculadora científica de bolsillo. Por ejemplo, el número total de partículas elementales en el universo es de alrededor de 10 elevado a la 80 (el número de Eddington). Mencionamos que Arquímedes calculó, en su texto El arenario, el número de granitos de arena con el que se rellenaría el universo en el modelo de Aristarco de Samos (de apenas 2 años luz de diámetro, aproximadamente), este sería inferior a 10 elevado a la 63. De manera similar, Sagan calculó que si todo el universo conocido (el universo físico nuestro) estuviera repleto de neutrones, uno pegado al otro (cosa imposible por cierto), obtendríamos un número total inferior a 10 elevado a la 128, lo que nos dice que con un googol podremos contar cuanta cosa física exista, y que realmente un googolplex es un número imposible de representar en el mundo material, y por consiguiente peor aún con sus descendientes dúplex, triplex, etcétera.

Para mencionar otra cantidad grande en nuestro universo físico, pero similar a un googol, anótese que el tiempo de decaimiento de un agujero negro súper masivo de aproximadamente la masa de una galaxias (equivalente a 10 elevado a la 11 masas solares), debido a la radiación de Hawking, es del orden de 10 elevado a la 100 años, de donde se deduce que la muerte por calor de un universo en expansión tiene un límite inferior a un googol de años, tomando nota que la edad actual estimada del universo es de 13.8 millardos de años, es decir, apenas 10 elevado a la diez años.

En la continuación de este artículo, que esperamos que no se extienda indefinidamente, abordaremos los denominados «números muy grandes», como el inimaginable número de Graham, construido con hiperoperaciones aritméticas, y el inentendible número de Rayo, construido por el filósofo y experto en metalógica, el mexicano estadounidense Agustín Rayo, como resultado de un duelo de números grandes realizado en el MIT el 26 de enero de 2007.

Imágenes tomadas de Xatakaciencia y Unifeed.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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