Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

Quien busque el infinito, que cierre los ojos.
Milan Kundera

De niño tuve más de una maestra que, en su momento, se vio en la obligación de explicarnos que existían dos tipos de conjuntos, a saber, los que eran finitos porque se podían contar sus elementos, y los infinitos, que en contraposición, aunque se quisiera contar sus elementos, nunca se podría determinar con un número natural su correspondiente cardinalidad. Para ilustrar esta idea de finitud, un tanto abstracta, nuestras profesoras recurrían al uso de ejemplos. Presentar casos de conjuntos finitos era muy sencillo, no así con los conjuntos infinitos, para los que se solía recurrir al conjunto conformado por todos los granos de arena de mar en todo el planeta, o aquel constituido por todas las estrellas del cielo, o también por aquel integrado por todos los cabellos en la cabeza de alguno de nuestros congéneres.

Sin embargo, aún para un niño, no quedaba tan claro que no se podría terminar de contar los elementos de estos ejemplos de supuestos conjuntos infinitos. Algunos estudiantes objetaban, pero sus comentarios nunca serían tomados en cuenta. Sin embargo, para tomar uno de los casos en particular, el de las arenas del mar, es posible percatarse que si continuamos, grano tras grano, tras grano, tras grano, colocándolos imaginariamente en un gigantesco y adecuado recipiente, inexistente en la realidad pero existente a nivel mental, arribamos a la conclusión que sí llegaremos al final de la cuenta y podremos colocar el último de los granos de arena de todos los mares del planeta, y por lo tanto el proceso de conteo terminará en un cierto número, verificando que se trata de un conjunto finito, muy grande, pero no infinito como alguien podría proponer.

Destaca y cabe mencionar que esta conjetura sobre la infinitud de las arenas del mar es histórica, pues se tiene conocimiento que Arquímedes de Siracusa, el gran matemático griego de la antigüedad, realizó una tarea interesante, inspirado en un verso de Píndaro que dice «infinitas como las arenas del mar». En efecto, Arquímedes desarrolló en su texto Arenario, dos loables tareas: calcular el número de granos de arena que pudieran llenar completamente el universo según el modelo de Aristarco de Samos, y crear un sistema de numeración verbal y conveniente en el cual resultara posible nombrar tal número.

Y es que la infinitud es uno de los primeros procesos matemáticos abstractos que la humanidad enfrentó, cuando se vio en la necesidad de sistematizar el conteo y construir un sistema de numeración convenientemente diseñado para identificar y nombrar números muy grandes, como el caso de los censos. Es claro que dada una determinada lista o conjunto, siempre será posible imaginar una lista aún mayor, de forma que, con relación al conteo de sus elementos, siempre existirá un número natural más grande que el anterior. En términos más formales decimos que dado un número natural n, resultado de un conteo, siempre será posible obtener uno mayor, que es el siguiente o sucesor, dado por la operación n + 1. La aritmética elemental está construida sobre un proceso computacional muy importante: la recursividad, de naturaleza intrínsecamente infinita y de la cual valdrá el esfuerzo de escribir en próxima ocasión.

Como expresa Milan Kundera en la frase citada al inicio, los procesos recursivos, o de recurrencia, son de naturaleza intrínsecamente abstracta, pues se trata de un seguir, y seguir, y seguir, indefinidamente y sin paro posible, como bien describe Edgar Allan Poe en su cuento El pozo y el péndulo: «Transportándome silenciosamente hacia abajo, aún más hacia abajo, cada vez más abajo, hasta que me invadió un vértigo espantoso a la simple idea del infinito en descenso».

Así, resulta relevante la distinción entre un número muy grande y el infinito, que es un producto mental (ideal), que hoy estamos claros que no se corresponde con nada de nuestra realidad sensible. En este sentido, sabemos que nuestro universo físico es finito, y por grande que pueda ser un número natural determinado, este corresponderá al conteo de los elementos de un conjunto no infinito. Igualmente, si se trata de un número racional, resultado de una medición, se tratará de un número acotado, no infinito. El astrofísico, exobiólogo y divulgador de la ciencia Carl Sagan grabó un fabuloso vídeo en el cual enfatiza la diferencia entre el infinito y cualquier número natural, por grande que sea. A su vez, presenta en el mismo video un famoso número grande, el googol (gúgol), y otro pariente de este que es aún mayor, el googolplex (gúgolplex).

¿Qué es exactamente un googol? Pues es uno de los números grandes con nombre propio que sirve para ilustrar el horizonte limítrofe que separa a los números normales de esos que se empiezan a considerar números grandes. Un googol es, básicamente, en el sistema de numeración decimal, un dígito uno seguido de cien ceros, lo que es equivalente a afirmar que es el resultado de elevar diez a la centésima potencia.

Como se menciona en el vídeo de Sagan, el término googol fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de nueve años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner, quien compartió el concepto en su libro Las matemáticas y la imaginación. A este respecto, Isaac Asimov dijo en una ocasión: «Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé». También es cierto que la empresa Google cambió en 1997 su nombre al actual, inspirada en el número googol, y se escribe diferente por un error ortotipográfico.

A pesar de la connotación del googol como una frontera entre los números estándar y los llamados números grandes, establecer más formalmente cuándo un número deja de ser pequeño tiene que ver con la forma en que procesamos la información cuantitativa. Por ejemplo, de hace ya décadas que nuestras calculadoras portátiles tienen la capacidad de escribir cantidades virtualmente equivalentes a un googol. En el caso de nuestra mente, esto tiene que ver con la significancia de una cantidad y qué tanto podemos discriminar en nuestra mente el tamaño del número natural dado (para ilustrar este hecho, obsérvese que no necesitamos contar para saber que una colección de objetos tiene tres o cuatro, y que si se trata de siete no podremos percibirlos de golpe, a menos que hagamos un par de agrupaciones visuales).

Es así como en función de las limitaciones de nuestros sentidos y de nuestras capacidades mentales, el uso que damos al sistema de numeración decimal se ve reducido en la práctica al empleo de unos pocos dígitos. Por ejemplo, regresando al particular del sentido de la vista, nuestro ojos pueden distinguir al nivel de una décima parte, o de una centésima, a lo sumo, pero no más, por lo que la significancia se verá reducida a dos cifras decimales.

Cuando deseamos representar números de más de dos cifras, es usual recurrir al uso de escalas geométricas, o más frecuentemente de varias escalas aritméticas sucesivas, cada una con unidades más grandes o pequeñas en una cierta razón que resulta conveniente. Por ejemplo, si deseamos visualizar el aparecimiento del ser humano (circa 1 Ma, un millón de años) en comparación con la edad de nuestro universo físico, será necesario recurrir a varias escalas con cierta graduación entre sí.

Nótese que la edad estimada del universo es de 13.8 millardos de años, es decir de una cantidad aproximada de un 1 seguido de diez ceros de años, lo cual es realmente una cantidad increíblemente pequeña comparada con un googol de años. De hecho, en nuestro horizonte cosmológico o universo observable todas las cantidades físicas, sin importar las unidades que se utilicen para determinarlas, vendrán expresadas con números que resultarán siendo tremendamente mucho más pequeños comparadas con el número que en esta ocasión hemos presentado, y vale aclarar que este número, el googol, será extremadamente pequeño comparado con otros, que estaremos presentando en la continuación de este artículo.

Fotografías tomadas de Xakataciencia y Unifeed.Club.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multirrumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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