Vinicio Barrientos Carles | Para no extinguirnos / QUADRIVIUM

En nuestro anterior artículo Dos más dos, no siempre son cuatro se realizó una breve introducción a la problemática teórica sobre la verdadera naturaleza de la Matemática, y se comentó algo al respecto de los objetos considerados en el quehacer matemático, distinguiendo para ello entre las ciencias formales y las ciencias factuales.

En esta exposición se insistió en un par de ideas antípodas, que es usual asignar a la actividad matemática, haciendo ver que, por un lado, no se trata de una disciplina absoluta, sino más bien de una que trata con sistemas formales que se asumen convenientemente, y por el otro lado, que es una disciplina racional que va mucho más allá del mero cálculo de operaciones que pueden ser reducidas a algún tipo de ejecución algorítmica.

Así, se presentaron unos ejemplos sobre cómo un determinado resultado depende de la aritmética que se trate, como son los casos de la aritmética modular o del sistema de numeración que se utilice en la representación. Ahora, en seguimiento, se mostrará un ejemplo que no resultará ni tan abstracto ni tan ajeno a nuestras actividades cotidianas, por tratarse de los números en un sentido mucho más concreto.

En este sentido, hace algunos años, durante la instrucción de la escuela elemental, se recalcaba en la diferencia que existía entre cantidades concretas y cantidades abstractas. De esta guisa que, ante el uso de los números, resultaba muy importante distinguir si se estaba tratando con números en su sentido abstracto, o era el caso de una aplicación de los números en el mundo concreto, tangible.

La primera situación, abstracta, se refiere, por ejemplo, cuando consideramos al número siete, y verificamos que se trata de un número primo (sin factorización no trivial), o cuando establecemos que solo existen tres números perfectos menores que un millar (que son 6, 28 y 496). Los números aquí son objetos formales, abstractos, totalmente ideales.

La segunda situación, de la cual podemos citar abundantes casos, pues casi siempre utilizamos los números en un sentido concreto, está implicada cuando afirmamos que disponemos de dos litros de leche, o bien al establecer que el auto mide 4.3 m, o que nos demoraremos 35 minutos en llegar a nuestro destino. Acá estamos utilizando los números para representar cantidades concretas, es decir, resultado de procesos de medición en objetos tangibles.

Al margen de las evidentes complejidades en el marco de la filosofía de la ciencia, esta distinción teorética viene muy al caso, pues siempre podremos identificar en los números estas dos perspectivas básicas: una, que es ideal (formal, matemática), y la otra, que es empírica (factual, aplicada) y que por ende siempre hace referencia a una cantidad en el mundo sensible.

En el caso de la aritmética usual, la afirmación 2 x 3 = 6 no tiene reparo alguno, pues precisamente se trata de los números en su perspectiva abstracta. Empero desarrollaremos un ejemplo para mostrar las consideraciones que siempre deben tenerse al tratar con los números en su forma concreta, es decir, de los números en el sentido en el cual usualmente los empleamos.

Para ello, piénsese en una tabla, de una gran mesa, y sin disponer de una cinta métrica o equivalente, alguien anota que las dimensiones de la tabla, redondeada al metro, son de 2 m de ancho por 3 m de largo. Nos interesa tanto la medida del perímetro, o medida de la periferia, como la medida del área, para aplicar un barniz protector.

Se repite que como números abstractos, es posible afirmar, sin mayor problema, que el semiperímetro vale 2 m + 3 m = 5 m, y que el área será de 2 m x 3 m = 6 m² . No hay dificultad en el asunto, porque estos números abstractos son exactos, por así decirlo, pues son objetos ideales, platónicos. En contraposición, cualquier medición de una variable concreta continua es inexacta, es decir, conlleva una incertidumbre que representa un determinado error de medición, puesto que los instrumentos tienen un límite en la precisión de la medida.

Cuando se dice que el ancho de la mesa es de 2 m, se está asegurando que 2 m es el mejor valor que es posible dar con una cifra significativa, es decir, que 1 m o 3 m no son tan buenos valores para representar la medición. Por lo tanto, el valor verdadero del ancho de la tabla tendrá que estar comprendido en el intervalo que va desde 1.5 m hasta 2.5 m.

Acá lo importante es caer en la cuenta que cada valor numérico no es un punto, sino un intervalo, que tiene un punto como representante. Si deseamos calcular el área, para estimar la cantidad de barniz a utilizar, la operación a efectuar será la multiplicación de 2 m de ancho por 3 m de largo, y la misma deberá tomar en cuenta que 2 m es realmente el intervalo (1.5 m, 2.5 m), de igual manera que el valor 3 m es verdaderamente un valor dentro del intervalo (2.5 m, 3.5 m).

De esta forma que el producto representado por el simbolismo 2 m x 3 m vendrá a representar el producto de dos intervalos, a saber: (1.5 m, 2.5 m) x (2.5 m, 3.5 m). Esto significa que podría suceder, en un caso extremo, que el ancho real fuera un poco mayor que 1.5 m mientras el largo real fuera un poco mayor que 2.5 m, en cuyo caso el área sería un poco mayor que 3.75 m² . En el otro caso extremo, cuando ambas medidas fueran casualmente mayores, el área podría llegar a ser 8.75 m² = 2.5 m x 3.5 m.

Redondeando a una cifra significativa esto significa que si tenemos una tabla de madera cuyas dimensiones son 2 m y 3 m aproximadamente, el área podría estar comprendida entre 4 m² y 9 m² aproximadamente. Es decir, el área podría perfectamente estar más cerca de 5 m² o 7 m², que de 6 m².

La consecuencia fundamental es que no podemos comprometernos con el hecho que el área de la mesa «deba ser exactamente 6 m²». También obsérvese que el centro de las posibles respuestas no es 6 m², pero simplificando podríamos afirmar que una buena respuesta es 6 ± 2 m² que establece una respuesta con un punto central en 6 pero con incertidumbre 2, que se interpreta como posibles respuestas desde 4 hasta 8, aproximadamente.

La intención del caso planteado es otorgar valor al concepto de incertidumbre. En este caso que se ha mostrado, se ha dramatizado de manera intencional, por el hecho de que tanto la medida del ancho de la tabla (2 m), como la del largo (3 m), adolecen de incertidumbres relativas «muy grandes», puesto que el sesgo absoluto de 0.5 m representa 25 % (= 0.5 / 2) y 17 % (≈ 0.5 / 3) del ancho y del largo, respectivamente.

La conclusión específica del caso planteado es que deberá considerarse la compra de barniz suficiente para cubrir 8 m², y como dice el titular, tendremos que aceptar que dos por tres no serán seis. Para tranquilidad, si en este caso se hubiera garantizado que la tabla mide 2.0 m de ancho por 3.0 m de largo, hubiera bastado la compra de barniz para cubrir 6.2 m², lo cual no se separa tanto de nuestro estimado para 6 m².

Es general, es importante reconocer que un determinado modelo matemático utilizará por lo general cantidades concretas, las cuales están sometidas a ciertas condiciones de medición y de incertidumbre. Para evitar cualquier error prospectivo o sesgo sistemático, será crucial la comprensión de las cantidades intervinientes en el modelo.

Imagen principal por Vinicio Barrientos Carles.

Vinicio Barrientos Carles

Guatemalteco de corazón, científico de profesión, humanista de vocación, navegante multi-rumbos… viajero del espacio interior. Apasionado por los problemas de la educación y los retos que la juventud del siglo XXI deberá confrontar. Defensor inalienable de la paz y del desarrollo de los Pueblos. Amante de la Matemática.

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